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Máximo Divisor Comum
Problema
Dois lingotes, um de ouro e outro de prata, pesam respectivamente 60 kg
e 48 kg.
Pretende-se dividi-los em peças com igual peso que deve ser o maior
possível. Qual o peso de cada peça?
Resolução
O «peso» de cada peça tem de ser um divisor de 36 e 48.
Sequência dos divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Sequência dos divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Divisores comuns a 60 e 48: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Como se pretende que o peso de cada peça seja o maior possível, escolho
o maior divisor comum a 60 e 48 -
o máximo divisor comum:
m.d.c. (60, 48) = 12
(lê-se: máximo divisor comum de 60 e 48 é 12)
Ou seja, cada peça deverá ter 12 kg.
O m.d.c. (60, 48) pode também ser obtido por outro processo, que analisaremos
de seguida.
Para calcular o m.d.c. (60, 48), escolhem-se os factores primos comuns
com o menor expoente e efectua-se o seu produto.
Neste exemplo,
m.d.c. (60, 48) = 2 2 ×3 = 12
- O máximo divisor comum de dois números é o maior número que os divide exactamente;
- O máximo divisor comum de dois números decompostos em factores primos é o produto
dos factores primos comuns tomados com o menor expoente:
m.d.c. (140, 150)
140 = 22 × 5 × 7
150 = 2 ×3 × 52
m.d.c. (140, 150) = 2 ×5 = 10
- Quando o máximo divisor comum de dois números é 1, diz-se que os números são
primos entre si:
m.d.c. (11, 15)
m.d.c. (11, 15) = 1
11 e 15 são números primos entre si
Retirado de Mat 8, de Elza Gouveia Durão e Maria Margarida Baldaque,
Texto Editora
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Matemática 8.º Ano
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